Convex-transitive Banach spaces and their hyperplanes

The topic of this dissertation is the geometric and isometric theory of Banach spaces. This work is motivated by the known Banach-Mazur rotation problem, which asks whether each transitive separable Banach space is isometrically a Hilbert space. A Banach space X is said to be transitive if the isometry group of X acts transitively on the unit sphere of X. In fact, some weaker symmetry conditions than transitivity are studied in the dissertation. One such condition is an almost isometric version of transitivity. Another investigated condition is convex-transitivity, which requires that the closed convex hull of the orbit of any point of the unit sphere under the rotation group is the whole unit ball. Following the tradition developed around the rotation problem, some contemporary problems are studied. Namely, we attempt to characterize Hilbert spaces by using convex-transitivity together with the existence of a 1-dimensional bicontractive projection on the space, and some mild geometric assumptions. The convex-transitivity of some vector-valued function spaces is studied as well. The thesis also touches convex-transitivity of Banach lattices and resembling geometric cases.

Tämä matematiikan väitöskirja käsittelee Banach-avaruuksien geometristä ja isometristä teoriaa. Työtä motivoi tunnettu Banach-Mazurin rotaatio-ongelma, joka on ollut avoinna vuodesta 1932. Väitöskirjassa tutkitaan siis Banach-avaruuksien symmetrioita. Banach-avaruus on metrisessä mielessä täydellinen normiavaruus, jonka yleensä ajatellaan olevan ääretönulotteinen. Banach-avaruuden rotaatio on lineaarinen, normin säilyttävä bijektio avaruudelta itselleen. Banach-avaruutta kutsutaan transitiiviseksi, jos mille tahansa kahdelle pisteelle, joiden normi on 1, löytyy rotaatio joka vie näistä pisteistä yhden pisteparin toiselle pisteelle. Rotaatio-ongelma kysyy onko jokainen separoituva transitiivinen Banach-avaruus itseasiassa Hilbert-avaruus. Avaruus on separoituva jos se sisältää tiheän numeroituvan osajoukon. Väitöskirjan tulokset liittyvät avaruuksiin, joissa on lähtökohtaisesti vähemmän symmetrioita kuin rotaatio-ongelma edellyttää mutta toisaalta tässä tutkituilta avaruuksilta edellytetään lisäksi rakenteellisia ominaisuuksia, jotka liittyvät yksikköpallon geometriaan ja avaruuden ortogonaalistyyppisiin hajoitelmiin. Lisäksi tutkitaan myös vektoriarvoisten funktioavaruuksien rotaatioita, jossa nämä funktioavaruudet tunnetaan ennalta epäisomorfisiksi Hilbert-avaruuden kanssa.