Boundedness of weakly singular integral operators on domains

The monograph dissertation deals with kernel integral operators and their mapping properties on Euclidean domains. The associated kernels are weakly singular and examples of such are given by Green functions of certain elliptic partial differential equations. It is well known that mapping properties of the corresponding Green operators can be used to deduce a priori estimates for the solutions of these equations. In the dissertation, natural size- and cancellation conditions are quantified for kernels defined in domains. These kernels induce integral operators which are then composed with any partial differential operator of prescribed order, depending on the size of the kernel. The main object of study in this dissertation being the boundedness properties of such compositions, the main result is the characterization of their Lp-boundedness on suitably regular domains. In case the aforementioned kernels are defined in the whole Euclidean space, their partial derivatives of prescribed order turn out to be so called standard kernels that arise in connection with singular integral operators. The Lp-boundedness of singular integrals is characterized by the T1 theorem, which is originally due to David and Journé and was published in 1984 (Ann. of Math. 120). The main result in the dissertation can be interpreted as a T1 theorem for weakly singular integral operators. The dissertation deals also with special convolution type weakly singular integral operators that are defined on Euclidean spaces.

Monografiamuotoisessa väitöskirjassa tarkastellaan euklidisten avaruuksien alueissa määriteltyjä ytimellisiä integraalioperaattoreita ja niiden kuvausominaisuuksia. Käsiteltävät ytimet ovat heikosti singulaarisia ja esimerkkejä näistä ovat eräiden elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden Greenin funktiot, joita vastaavien operaattoreiden kuvausominaisuuksien avulla voidaan tunnetusti johtaa ominaisuuksia yhtälöiden ratkaisuille. Väitöskirjassa kvantifioidaan luonnollisia koko- ja kumoutumisehtoja alueissa määritellyille ytimille ja annetaan eräs vastaus seuraavaan kysymykseen: milloin nämä ehdot toteuttavaa ydintä vastaava operaattori on rajoitettu, kun se yhdistetään mihin tahansa ytimen kokoa vastaavan kertaluvun osittaisderivaattaan. Työn päätulos on Lp-rajoittuneisuuden karakterisointi riittävän säännöllisillä alueilla. Jos alue on koko euklidinen avaruus, niin työssä määriteltyjen ytimien sopivan kertaluvun osittaisderivaatat ovat standardiytimiä jotka liittyvät singulaarisiin integraalioperaattoreihin. Singulaaristen integraalien Lp-kuvausominaisuuksia luonnehtii T1 lause, jonka David ja Journé julkaisivat vuonna 1984. Väitöskirjassa todistettu päätulos voidaan tulkita T1 lauseeksi työssä käsiteltäville heikosti singulaarisille integraalioperaattoreille. Väitöskirjassa tarkastellaan lisäksi erityisiä konvoluutiotyyppisiä heikosti singulaarisia integraalioperaattoreita euklidisissa avaruuksissa.