Conformal Field Theory Methods for Variants of Schramm-Loewner Evolutions

This thesis consists of an introduction, four research articles and an appendix. The thesis studies relations between two different approaches to continuum limit of models of two dimensional statistical mechanics at criticality. The approach of conformal field theory (CFT) could be thought of as the algebraic classification of some basic objects in these models. It has been succesfully used by physicists since 1980's. The other approach, Schramm-Loewner evolutions (SLEs), is a recently introduced set of mathematical methods to study random curves or interfaces occurring in the continuum limit of the models. The first and second included articles argue on basis of statistical mechanics what would be a plausible relation between SLEs and conformal field theory. The first article studies multiple SLEs, several random curves simultaneously in a domain. The proposed definition is compatible with a natural commutation requirement suggested by Dubédat. The curves of multiple SLE may form different topological configurations, ``pure geometries''. We conjecture a relation between the topological configurations and CFT concepts of conformal blocks and operator product expansions. Example applications of multiple SLEs include crossing probabilities for percolation and Ising model. The second article studies SLE variants that represent models with boundary conditions implemented by primary fields. The most well known of these, SLE(kappa, rho), is shown to be simple in terms of the Coulomb gas formalism of CFT. In the third article the space of local martingales for variants of SLE is shown to carry a representation of Virasoro algebra. Finding this structure is guided by the relation of SLEs and CFTs in general, but the result is established in a straightforward fashion. This article, too, emphasizes multiple SLEs and proposes a possible way of treating pure geometries in terms of Coulomb gas. The fourth article states results of applications of the Virasoro structure to the open questions of SLE reversibility and duality. Proofs of the stated results are provided in the appendix. The objective is an indirect computation of certain polynomial expected values. Provided that these expected values exist, in generic cases they are shown to possess the desired properties, thus giving support for both reversibility and duality.

Väitöskirjan "Conformal field theory methods for variants of Schramm-Loewner evolutions" aiheena ovat kaksi lähestymistapaa kaksiulotteisen tilastollisen mekaniikan mallien kriittisen pisteen jatkumorajan tutkimuksessa, konformikenttäteoria ja Schramm-Loewner evoluutiot (SLE). 1980-luvulta alkaen teoreettisessa fysiikassa tällaisia kriittisiä ilmiöitä on tutkittu kvanttikenttäteorian menetelmin. Kriittisessä pisteessä mallit ovat skaalainvariantteja ja on paljon todisteita vielä vahvemmasta symmetriasta, konformisymmetriasta. Konformisymmetriaa kuvaa Virasoro algebraksi kutsuttu ääretönulotteinen Lien algebra. Niitä kvanttikenttäteorioita, joilla on tämä symmetria, sanotaan konformikenttäteorioiksi. Konformikenttäteoriaa käytetään myös nk. säieteorioissa, hiukkasfysiikan teorioissa jotka pyrkivät gravitaation kvanttiteoriaan. SLE:t ovat satunnaisia käyriä kaksiulotteisissa alueissa ja ne ovat konformisymmetriansa takia vahva ehdokas kuvaamaan kriittisen tilastollisen mekaniikan käyriä ja rajapintoja. Ne yhdistävät matemaattisesti Charles Loewnerin (Karl Löwner) idean viiltokuvauksista 1920-luvulta, todennäköisyysteoriaa ja tilastollisen fysiikan motivoimana oletetun konformisymmetrian. SLE:n tutkimus alkoi Oded Schrammin artikkelista vuodelta 1999. Alan uranuurtajista Wendelin Werner palkittiin töistään Fieldsin mitalilla vuonna 2006. Tässä väitöskirjassa tutkitaan konformikenttäteorioiden ja SLE:n välistä yhteyttä. Tilastollisen mekaniikan perusteella esitetään, miten yhteys voidaan ymmärtää. Työssä tarkastellaan erityisesti muunnelmia alkuperäisestä SLE:stä, jotka sallivat yleisempiä reunaehtoja. Näistä muunnelmista moni-SLE:t kuvaavat useita käyriä samassa alueessa ja niiden topologisten konfiguraatioidenn yhteyttä konformikenttäteorian käsitteisiin operaattoritulokehitelmä ja konforminen blokki selvitetään. Myös konformikenttäteorioiden Coulombin kaasu menetelmän näytetään soveltuvan joihinkin SLE:n muunnelmia koskeviin kysymyksiin. Työssä osoitetaan myös, että lähestymistapojen yhteys mahdollistaa SLE:n tiettyjen suureiden luokittelun kvanttikenttäteorioiden konformisymmetriaan liittyvän Virasoro algebran avulla. Erityisesti tätä luokittelua sovelletaan kahteen tunnettuun SLE:hen liittyvään avoimeen ongelmaan, SLE:n kääntämiseen ja duaalisuuteen. SLE:n kääntämisellä tarkoitetaan kysymystä onko SLE-käyrä samanlainen alusta loppuun kuin lopusta alkuun. Duaalisuus taas liittyy kysymykseen onko tietyn SLE:n nk. rungon reuna paikallisesti samanlainen kuin toisen SLE:n käyrä. Työssa saadut tulokset antavat tukea näille otaksumille. Työn menetelmillä voidaan jatkossa parantaa ymmärrystä SLE:istä ja mahdollisesti muista samankaltaisista konformisymmetrisistä satunnaisista käyristä.