The Spin-Statistics Relation and Noncommutative Quantum Field Theory

The efforts of combining quantum theory with general relativity have been great and marked by several successes. One field where progress has lately been made is the study of noncommutative quantum field theories that arise as a low energy limit in certain string theories. The idea of noncommutativity comes naturally when combining these two extremes and has profound implications on results widely accepted in traditional, commutative, theories. In this work I review the status of one of the most important connections in physics, the spin-statistics relation. The relation is deeply ingrained in our reality in that it gives us the structure for the periodic table and is of crucial importance for the stability of all matter. The dramatic effects of noncommutativity of space-time coordinates, mainly the loss of Lorentz invariance, call the spin-statistics relation into question. The spin-statistics theorem is first presented in its traditional setting, giving a clarifying proof starting from minimal requirements. Next the notion of noncommutativity is introduced and its implications studied. The discussion is essentially based on twisted Poincaré symmetry, the space-time symmetry of noncommutative quantum field theory. The controversial issue of microcausality in noncommutative quantum field theory is settled by showing for the first time that the light wedge microcausality condition is compatible with the twisted Poincaré symmetry. The spin-statistics relation is considered both from the point of view of braided statistics, and in the traditional Lagrangian formulation of Pauli, with the conclusion that Pauli's age-old theorem stands even this test so dramatic for the whole structure of space-time.

Kvanttiteorian ja yleisen suhteellisuusteorian yhdistämiseksi on tehty paljon työtä ja merkittäviä edistysaskeleita on otettu. Yksi tutkimusaloista, jossa edistystä on viime vuosina tapahtunut on kommutoimattomien avaruuksien kvanttikenttäteoria. Kiinnostus alaa kohtaan heräsi huomattavan suureksi, kun osoitettiin että tulokset voidaan johtaa eräiden säieteorioiden matala-energia rajalla. Avaruuden kommutoimattomuus on luonnollinen johtopäätös näitä kahta äärimmäisyyksien teoriaa yhdistettäessä ja sillä on syvällinen vaikutus yleisesti hyväksyttyjen tulosten paikkansapitävyydelle korkeissa energioissa. Tässä työssä tutkin erästä fysiikan tärkeimmistä tuloksista, spinin ja statistiikan välistä suhdetta. Tämä suhde on tärkeä osa todellisuuttamme, antaahan se rakenteen jaksolliselle järjestelmälle ja selittää miksi maailmaamme täyttävä aine pysyy vakaana. Kommutoimattomat koordinaatistot aiheuttavat dramaattisia muutoksia fysikaalisissa teorioissa ja etenkin Lorentz-invarianssin puute nostaa esiin kysymyksen spinin ja statistiikan välisen suhteen säilymisestä. Paulin kuuluisa teoreema esitetään ensin kommutoivien avaruuksien tapauksessa ja se todistetaan lähtien mahdollisimman yksinkertaisista oletuksista. Seuraavaksi esitellään koordinaattien kommutoimattomuus ja sen tärkeimmät fysikaaliset vaikutukset. Tarkastelu perustuu lähinnä twisted Poincaré -symmetrialle, kommutoimattomien avaruuksien uudelle relativistiselle symmetrialle. Kiisteltyyn mikrokausaaliteettiongelmaan löydetään vastaus, kun ensi kerran light wedge -rakenteeseen perustuvan mikrokausaalisuusehdon osoitetaan olevan yhteensopiva twisted Poincaré -symmetrian kanssa. Spinin ja statistiikan välistä relaatiota käsitellään sekä braided -statistiikkojen että perinteikkään Lagrangen formalismin näkökulmasta. Lopulta osoitetaan, että Paulin vanha teoria selviää tästä dramaattisesta avaruuden rakenteen muutoksesta.