Noncommutativity and Some of Its Present-Day Developments

This masters thesis explores some of the most recent developments in noncommutative quantum field theory. This old theme, first suggested by Heisenberg in the late 1940s, has had a renaissance during the last decade due to the firmly held belief that space-time becomes noncommutative at small distances and also due to the discovery that string theory in a background field gives rise to noncommutative field theory as an effective low energy limit. This has led to interesting attempts to create a noncommutative standard model, a noncommutative minimal supersymmetric standard model, noncommutative gravity theories etc. This thesis reviews themes and problems like those of UV/IR mixing, charge quantization, how to deal with the non-commutative symmetries, how to solve the Seiberg-Witten map, its connection to fluid mechanics and the problem of constructing general coordinate transformations to obtain a theory of noncommutative gravity. An emphasis has been put on presenting both the group theoretical results and the string theoretical ones, so that a comparison of the two can be made.

Denna pro gradu avhandling återger några av de mest betydande nutida resultat inom icke-kommutativ kvanttfältteori. Detta ålderliga område, som fötts via Heisenberg under den senare delen av 40-talet, har upplevt en ränessans under den senaste dekaden p.g.a. av dess direkt icke-lokala karaktär och också p.g.a. att man upptäckt att strängteorier med ett konstant fält i bakgrunden ger upphov till icke-kommutativ fältteori, som ett effektivt låg-energi gränsvärde. Detta har i sin tur gett upphov till skapandet av olika teoretiska modeller, t.ex. en icke-kommutativ standardmodel, en supersymmetrisk minimal icke-kommutativ standardmodel, olika icke-kommutativa gravitationsteorier, etc. Detta verk ger en överblick av typiska problem och återkommande teman inom området icke-kommutativ fältteori. Dessa är ex. UV/IR-blandnigen, laddningskvanttiseringen, hur man tampas med de icke-kommutativa symmetrierna, hur man löser Seiberg-Witten avbildningen, dess relation till strömningsmekanik och problemet med att skapa generella icke-kommutativa koordinattransformationer för att kunna bygga upp en icke-kommutativ gravitationsteori. Verket har en betoning på att återge både den gruppteoretiska bilden och den som kommer via Seiberg-Witten avbildningen så, att en jämförelse av resultaten från de båda blir möjlig.