Noncommutative Gravitation as a Gauge Theory of Twisted Poincaré Symmetry

Gravitaation kvanttiteorian muotoilu on ollut teoreettisten fyysikkojen tavoitteena kvanttimekaniikan synnystä lähtien. Kvanttimekaniikan soveltaminen korkean energian ilmiöihin yleisen suhteellisuusteorian viitekehyksessä johtaa aika-avaruuden koordinaattien operatiiviseen ei-kommutoivuuteen. Ei-kommutoivia aika-avaruuden geometrioita tavataan myös avointen säikeiden säieteorioiden tietyillä matalan energian rajoilla. Ei-kommutoivan aika-avaruuden gravitaatioteoria voisi olla yhteensopiva kvanttimekaniikan kanssa ja se voisi mahdollistaa erittäin lyhyiden etäisyyksien ja korkeiden energioiden prosessien ei-lokaaliksi uskotun fysiikan kuvauksen, sekä tuottaa yleisen suhteellisuusteorian kanssa yhtenevän teorian pitkillä etäisyyksillä. Tässä työssä tarkastelen gravitaatiota Poincarén symmetrian mittakenttäteoriana ja pyrin yleistämään tämän näkemyksen ei-kommutoiviin aika-avaruuksiin. Ensin esittelen Poincarén symmetrian keskeisen roolin relativistisessa fysiikassa ja sen kuinka klassinen gravitaatioteoria johdetaan Poincarén symmetrian mittakenttäteoriana kommutoivassa aika-avaruudessa. Jatkan esittelemällä ei-kommutoivan aika-avaruuden ja kvanttikenttäteorian muotoilun ei-kommutoivassa aika-avaruudessa. Mittasymmetrioiden lokaalin luonteen vuoksi tarkastelen huolellisesti mittakenttäteorioiden muotoilua ei-kommutoivassa aika-avaruudessa. Erityistä huomiota kiinnitetään näiden teorioiden vääristyneeseen Poincarén symmetriaan, joka on ei-kommutoivan aika-avaruuden omaama uudentyyppinen kvanttisymmetria. Seuraavaksi tarkastelen ei-kommutoivan gravitaatioteorian muotoilun ongelmia ja niihin kirjallisuudessa esitettyjä ratkaisuehdotuksia. Selitän kuinka kaikissa tähänastisissa lähestymistavoissa epäonnistutaan muotoilla kovarianssi yleisten koordinaattimunnosten suhteen, joka on yleisen suhteellisuusteorian kulmakivi. Lopuksi tutkin mahdollisuutta yleistää vääristynyt Poincarén symmetria lokaaliksi mittasymmetriaksi --- gravitaation ei-kommutoivan mittakenttäteorian saavuttamisen toivossa. Osoitan, että tällaista yleistystä ei voida saavuttaa vääristämällä Poincarén symmetriaa kovariantilla twist-elementillä. Näin ollen ei-kommutoivan gravitaation ja vääristyneen Poincarén symmetrian tutkimuksessa tulee jatkossa keskittyä muihin lähestymistapoihin.

The formulation of a quantum theory of gravitation has been a goal for theoretical physicists since the birth of quantum mechanics. Applying quantum mechanics to high energy processes in the framework of general relativity leads to the operational noncommutativity of spacetime coordinates. Noncommutative spacetime geometries are also obtained in open string theories at certain low energy limits. A theory of gravitation on noncommutative spacetime could be compatible with quantum mechanics and be able to capture the expected nonlocality of physics at very small distances and high energies, and also be able to reproduce Einstein's general relativity at long distances. In this work I investigate gravitation as a gauge theory of the Poincaré symmetry and I aim at generalizing this point of view to noncommutative spacetimes. First I review the important role of the Poincaré symmetry in relativistic physics and the derivation of the classical theory of gravitation as a gauge theory of the Poincaré symmetry. I continue by discussing noncommutative spaces and the formulation of quantum field theories on noncommutative spacetimes. The formulation of noncommutative gauge theories is explained carefully due to the local nature of gauge symmetries. Special emphasis is given to the twisted Poincaré symmetry, a new quantum symmetry of noncommutative spacetime, that is respected by these theories. Challenges encountered in the formulation of noncommutative gravitation and their solutions suggested in literature are discussed. I explain how all the approaches made so far lack the fundamental property of covariance under the general coordinate transformations, the cornerstone of general relativity. Finally, I study the possibility to generalize the twisted Poincaré symmetry to a local gauge symmetry in noncommutative spacetime --- in the hope to obtain a noncommutative gauge theory of gravitation. I show that such a generalization cannot be achieved by deforming the Poincaré symmetry by a covariant twist element. Thus other approaches to noncommutative gravitation and the twisted Poincaré symmetry will have to be considered in the future.