Eigenfunctions and fundamental solutions of the fractional Laplace and Dirac operators: the Riemann-Liouville case

In this paper we study eigenfunctions and fundamental solutions for the three parameter fractional Laplace operator $\Delta_+^{(\alpha,\beta,\gamma)}:= D_{x_0^+}^{1+\alpha} +D_{y_0^+}^{1+\beta} +D_{z_0^+}^{1+\gamma},$ where $(\alpha, \beta, \gamma) \in \,]0,1]^3$, and the fractional derivatives $D_{x_0^+}^{1+\alpha}$, $D_{y_0^+}^{1+\beta}$, $D_{z_0^+}^{1+\gamma}$ are in the Riemann-Liouville sense. Applying operational techniques via two-dimensional Laplace transform we describe a complete family of eigenfunctions and fundamental solutions of the operator $\Delta_+^{(\alpha,\beta,\gamma)}$ in classes of functions admitting a summable fractional derivative. Making use of the Mittag-Leffler function, a symbolic operational form of the solutions is presented. From the obtained family of fundamental solutions we deduce a family of fundamental solutions of the fractional Dirac operator, which factorizes the fractional Laplace operator. We apply also the method of separation of variables to obtain eigenfunctions and fundamental solutions.

Eigenfunctions and fundamental solutions of the Caputo fractional Laplace and Dirac operators

In this paper, by using the method of separation of variables, we obtain eigenfunctions and fundamental solutions for the three parameter fractional Laplace operator defined via fractional Caputo derivatives. The solutions are expressed using the Mittag-Leffler function and we show some graphical representations for some parameters. A family of fundamental solutions of the corresponding fractional Dirac operator is also obtained. Particular cases are considered in both cases.

Channel and frequency offset estimation schemes for multicarrier systems

O presente trabalho aborda o problema da estimação de canal e da estimação de desvio de frequência em sistemas OFDM com múltiplas configurações de antenas no transmissor e no receptor. Nesta tese é apresentado o estudo teórico sobre o impacto da densidade de pilotos no desempenho da estimação de canal em sistemas OFDM e são propostos diversos algoritmos para estimação de canal e estimação de desvio de frequência em sistemas OFDM com antenas únicas no transmissor e receptor, com diversidade de transmissão e MIMO. O estudo teórico culmina com a formulação analítica do erro quadrático médio de um estimador de canal genérico num sistema OFDM que utilize pilotos dedicados, distribuidos no quadro transmitido em padrões bi-dimensionais. A formulação genérica é concretizada para o estimador bi-dimensional LS-DFT, permitindo aferir da exactidão da formulação analítica quando comparada com os valores obtidos por simulação do sistema abordado. Os algoritmos de estimação investigados tiram partido da presença de pilotos dedicados presentes nos quadros transmitidos para estimar com precisão os parâmetros pretendidos. Pela sua baixa complexidade, estes algoritmos revelam-se especialmente adequados para implementação em terminais móveis com capacidade computacional e consumo limitados. O desempenho dos algoritmos propostos foi avaliado por meio de simulação do sistema utilizado, recorrendo a modelos aceites de caracterização do canal móvel multipercurso. A comparação do seu desempenho com algoritmos de referência permitir aferir da sua validade. ABSTRACT: The present work focus on the problem of channel estimation and frequency offset estimation in OFDM systems, with different antenna configurations at both the transmitter and the receiver. This thesis presents the theoretical study of the impact of the pilot density in the performance of the channel estimation in OFDM systems and proposes several channel and frequency offset algorithms for OFDM systems with single antenna at both transmitter and receiver, with transmitter diversity and MIMO. The theoretical study results in the analytical formulation of the mean square error of a generic channel estimator for an OFDM system using dedicated pilots, distributed in the transmitted frame in two-dimensional patterns. The generic formulation is implemented for the two-dimensional LS-DFT estimator to verify the accuracy of the analytical formulation when compared with the values obtained by simulation of the discussed system. The investigated estimation algorithms take advantage of the presence of dedicated pilots present in the transmitted frames to accurately estimate the required parameters. Due to its low complexity, these algorithms are especially suited for implementation in mobile terminals with limited processing power and consumption. The performance of the proposed algorithms was evaluated by simulation of the used system, using accepted multipath mobile channel models. The comparison of its performance with the one of reference algorithms measures its validity.

Métodos robustos em geoestatística

O objectivo principal da presente tese consiste no desenvolvimento de estimadores robustos do variograma com boas propriedades de eficiência. O variograma é um instrumento fundamental em Geoestatística, pois modela a estrutura de dependência do processo em estudo e influencia decisivamente a predição de novas observações. Os métodos tradicionais de estimação do variograma não são robustos, ou seja, são sensíveis a pequenos desvios das hipóteses do modelo. Essa questão é importante, pois as propriedades que motivam a aplicação de tais métodos, podem não ser válidas nas vizinhanças do modelo assumido. O presente trabalho começa por conter uma revisão dos principais conceitos em Geoestatística e da estimação tradicional do variograma. De seguida, resumem-se algumas noções fundamentais sobre robustez estatística. No seguimento, apresenta-se um novo método de estimação do variograma que se designou por estimador de múltiplos variogramas. O método consiste em quatro etapas, nas quais prevalecem, alternadamente, os critérios de robustez ou de eficiência. A partir da amostra inicial, são calculadas, de forma robusta, algumas estimativas pontuais do variograma; com base nessas estimativas pontuais, são estimados os parâmetros do modelo pelo método dos mínimos quadrados; as duas fases anteriores são repetidas, criando um conjunto de múltiplas estimativas da função variograma; por fim, a estimativa final do variograma é definida pela mediana das estimativas obtidas anteriormente. Assim, é possível obter um estimador que tem boas propriedades de robustez e boa eficiência em processos Gaussianos. A investigação desenvolvida revelou que, quando se usam estimativas discretas na primeira fase da estimação do variograma, existem situações onde a identificabilidade dos parâmetros não está assegurada. Para os modelos de variograma mais comuns, foi possível estabelecer condições, pouco restritivas, que garantem a unicidade de solução na estimação do variograma. A estimação do variograma supõe sempre a estacionaridade da média do processo. Como é importante que existam procedimentos objectivos para avaliar tal condição, neste trabalho sugere-se um teste para validar essa hipótese. A estatística do teste é um estimador-MM, cuja distribuição é desconhecida nas condições de dependência assumidas. Tendo em vista a sua aproximação, apresenta-se uma versão do método bootstrap adequada ao estudo de observações dependentes de processos espaciais. Finalmente, o estimador de múltiplos variogramas é avaliado em termos da sua aplicação prática. O trabalho contém um estudo de simulação que confirma as propriedades estabelecidas. Em todos os casos analisados, o estimador de múltiplos variogramas produziu melhores resultados do que as alternativas usuais, tanto para a distribuição assumida, como para distribuições contaminadas.

Estimação robusta em modelos lineares de equações simultâneas

Os Modelos de Equações Simultâneas (SEM) são modelos estatísticos com muita tradição em estudos de Econometria, uma vez que permitem representar e estudar uma vasta gama de processos económicos. Os estimadores mais usados em SEM resultam da aplicação do Método dos Mínimos Quadrados ou do Método da Máxima Verosimilhança, os quais não são robustos. Em Maronna e Yohai (1997), os autores propõem formas de “robustificar” esses estimadores. Um outro método de estimação com interesse nestes modelos é o Método dos Momentos Generalizado (GMM), o qual também conduz a estimadores não robustos. Estimadores que sofrem de falta de robustez são muito inconvenientes uma vez que podem conduzir a resultados enganadores quando são violadas as hipóteses subjacentes ao modelo assumido. Os estimadores robustos são de grande valor, em particular quando os modelos em estudo são complexos, como é o caso dos SEM. O principal objectivo desta investigação foi o de procurar tais estimadores tendo-se construído um estimador robusto a que se deu o nome de GMMOGK. Trata-se de uma versão robusta do estimador GMM. Para avaliar o desempenho do novo estimador foi feito um adequado estudo de simulação e foi também feita a aplicação do estimador a um conjunto de dados reais. O estimador robusto tem um bom desempenho nos modelos heterocedásticos considerados e, nessas condições, comporta-se melhor do que os estimadores não robustos usados no estudo. Contudo, quando a análise é feita em cada equação separadamente, a especificidade de cada equação individual e a estrutura de dependência do sistema são dois aspectos que influenciam o desempenho do estimador, tal como acontece com os estimadores usuais. Para enquadrar a investigação, o texto inclui uma revisão de aspectos essenciais dos SEM, o seu papel em Econometria, os principais métodos de estimação, com particular ênfase no GMM, e uma curta introdução à estimação robusta.

Bounds for the signless laplacian energy

The energy of a graph G is the sum of the absolute values of the eigenvalues of the adjacency matrix of G. The Laplacian (respectively, the signless Laplacian) energy of G is the sum of the absolute values of the differences between the eigenvalues of the Laplacian (respectively, signless Laplacian) matrix and the arithmetic mean of the vertex degrees of the graph. In this paper, among some results which relate these energies, we point out some bounds to them using the energy of the line graph of G. Most of these bounds are valid for both energies, Laplacian and signless Laplacian. However, we present two new upper bounds on the signless Laplacian which are not upper bounds for the Laplacian energy. © 2010 Elsevier Inc. All rights reserved.

Fractional calculus on time scales - Cálculo fraccional em escalas temporais

Introduzimos um cálculo das variações fraccional nas escalas temporais ℤ e (hℤ)!. Estabelecemos a primeira e a segunda condição necessária de optimalidade. São dados alguns exemplos numéricos que ilustram o uso quer da nova condição de Euler–Lagrange quer da nova condição do tipo de Legendre. Introduzimos também novas definições de derivada fraccional e de integral fraccional numa escala temporal com recurso à transformada inversa generalizada de Laplace.

Contributions to the theory of maximum entropy estimation for ill-posed models

As técnicas estatísticas são fundamentais em ciência e a análise de regressão linear é, quiçá, uma das metodologias mais usadas. É bem conhecido da literatura que, sob determinadas condições, a regressão linear é uma ferramenta estatística poderosíssima. Infelizmente, na prática, algumas dessas condições raramente são satisfeitas e os modelos de regressão tornam-se mal-postos, inviabilizando, assim, a aplicação dos tradicionais métodos de estimação. Este trabalho apresenta algumas contribuições para a teoria de máxima entropia na estimação de modelos mal-postos, em particular na estimação de modelos de regressão linear com pequenas amostras, afetados por colinearidade e outliers. A investigação é desenvolvida em três vertentes, nomeadamente na estimação de eficiência técnica com fronteiras de produção condicionadas a estados contingentes, na estimação do parâmetro ridge em regressão ridge e, por último, em novos desenvolvimentos na estimação com máxima entropia. Na estimação de eficiência técnica com fronteiras de produção condicionadas a estados contingentes, o trabalho desenvolvido evidencia um melhor desempenho dos estimadores de máxima entropia em relação ao estimador de máxima verosimilhança. Este bom desempenho é notório em modelos com poucas observações por estado e em modelos com um grande número de estados, os quais são comummente afetados por colinearidade. Espera-se que a utilização de estimadores de máxima entropia contribua para o tão desejado aumento de trabalho empírico com estas fronteiras de produção. Em regressão ridge o maior desafio é a estimação do parâmetro ridge. Embora existam inúmeros procedimentos disponíveis na literatura, a verdade é que não existe nenhum que supere todos os outros. Neste trabalho é proposto um novo estimador do parâmetro ridge, que combina a análise do traço ridge e a estimação com máxima entropia. Os resultados obtidos nos estudos de simulação sugerem que este novo estimador é um dos melhores procedimentos existentes na literatura para a estimação do parâmetro ridge. O estimador de máxima entropia de Leuven é baseado no método dos mínimos quadrados, na entropia de Shannon e em conceitos da eletrodinâmica quântica. Este estimador suplanta a principal crítica apontada ao estimador de máxima entropia generalizada, uma vez que prescinde dos suportes para os parâmetros e erros do modelo de regressão. Neste trabalho são apresentadas novas contribuições para a teoria de máxima entropia na estimação de modelos mal-postos, tendo por base o estimador de máxima entropia de Leuven, a teoria da informação e a regressão robusta. Os estimadores desenvolvidos revelam um bom desempenho em modelos de regressão linear com pequenas amostras, afetados por colinearidade e outliers. Por último, são apresentados alguns códigos computacionais para estimação com máxima entropia, contribuindo, deste modo, para um aumento dos escassos recursos computacionais atualmente disponíveis.

Línguas em Timor-Leste: que gestão escolar do plurilinguismo?

O presente estudo tem por objetivo compreender, no contexto geopolítico de Timor-Leste, quais as imagens, funções e estatutos das línguas que aí circulam e, simultaneamente, percecionar de que modo a Escola gere essa pluralidade linguística. Para o efeito, tivemos em conta as representações/imagens relativamente às línguas, às suas funções e estatutos, não só dos alunos e dos diferentes atores educativos (professores, diretores de escola e formadores do 1.º e 2.º ciclo), mas também aquelas que circulam em contexto social alargado, onde incluímos os intervenientes e os responsáveis pelas políticas educativas e outros elementos da população. Foi deste modo que procurámos perceber de que forma tais representações se influenciam reciprocamente e se refletem na Escola. O estudo realizado foi de cariz etnográfico. Assim, o investigadorobservador, colocado no terreno, foi produzindo um diário do observador e recolhendo informação etnográfica, através da sua convivência com a sociedade timorense (escritos do quotidiano, questionário à polícia, observação de aula, entre outros), auscultando as “vozes” quer dos alunos (por meio de biografias linguísticas e desenhos), quer dos atores educativos (através de biografias linguísticas e entrevistas), quer ainda dos intervenientes nas políticas educativas (com recurso a entrevistas) e de alguns jovens timorenses, recorrendo de novo às entrevistas. Simultaneamente, foi feita uma recolha documental, ao longo de todo o período em que o estudo decorreu, que integrou fontes escritas (documentos oficiais, como sejam os documentos reguladores das políticas linguísticas e os manuais, fontes não oficiais, incluindo documentos vários e testemunhos e fontes estatísticas, como os Censos) e fontes não escritas (imagens e sons registados, estes posteriormente transcritos). Todos estes dados foram classificados em dados primários e secundários, em função da sua relevância para o estudo. Para a sua análise socorremo-nos da análise de conteúdo para as biografias, as entrevistas e os manuais de língua portuguesa, estes no quadro de uma abordagem para a diversidade linguística e cultural, de uma análise documental para os documentos reguladores do Sistema Educativa e outros documentos oficiais relativos às línguas e, finalmente, recorremos a uma análise biográfica (Molinié, 2011) para os desenhos realizados pelos alunos. Os resultados obtidos vieram evidenciar o multilinguismo social e escolar que se vive no país, as imagens e as funções que as línguas desempenham nestes dois contextos, o escolar e o da sociedade alargada, permitindo-nos compreender que a Escola não é apenas um microcosmos dentro da sociedade, mas um espaço de encontro, por vezes de confronto, entre diversas línguas, culturas e identidades. Ela é também espaço onde as questões do plurilinguismo são mais desafiantes na medida em que as línguas não são apenas objeto de ensino aprendizagem, mas desempenham igualmente funções importantes na aquisição dos saberes escolares, na interação social e no desenvolvimento cognitivo dos alunos. Nestes contextos, ocorrem duas situações relevantes, uma é o facto de a Escola ser um lugar onde os repertórios linguísticos plurilingues dos alunos entram em contacto com as línguas de escolarização, o português, o tétum e o malaio indonésio e outra é que saberes escolares e saberes culturais utilizam línguas diferentes, isto é, os primeiros são veiculados em tétum e português, eventualmente em malaio indonésio, mas os saberes culturais são expressos nas línguas autóctones, ameaçadas, porém, por uma crescente expansão do tétum. Contudo, estas línguas criam também espaços privados, identitários e de coesão social dentro da grande cidade que é Díli. São línguas “secretas” e “de defesa.” Por fim, referiremos a urgência para que se tomem medidas no sentido de se criar um consenso sobre a normalização do tétum, que conduza à sua aplicação em contexto educativo e ao seu desenvolvimento funcional, isto é, que leve à planificação do seu estatuto. Visa-se, com este estudo, contribuir para que os atores, acima referidos, possam «repensar» a Escola, em Timor Leste, e, em particular, no que diz respeito à gestão das línguas que nela circulam, através de uma política linguística (educativa) que beneficie o Sistema Educativo, com eventuais repercussões no âmbito do currículo, da produção de materiais e da formação de professores. Face aos resultados obtidos, ainda que consideremos este estudo como parcelar, pelo facto de ter decorrido, sobretudo, na capital timorense, permitimo-nos sugerir a necessidade de esbater fronteiras entre o espaço escolar e as realidades dos alunos, encontrando uma gestão escolar deste plurilinguismo que crie um currículo mais integrador dos saberes linguísticos dos alunos.

Novel critical phenomena in optimization driven processes on networks

The work presented in this Ph.D thesis was developed in the context of complex network theory, from a statistical physics standpoint. We examine two distinct problems in this research field, taking a special interest in their respective critical properties. In both cases, the emergence of criticality is driven by a local optimization dynamics. Firstly, a recently introduced class of percolation problems that attracted a significant amount of attention from the scientific community, and was quickly followed up by an abundance of other works. Percolation transitions were believed to be continuous, until, recently, an 'explosive' percolation problem was reported to undergo a discontinuous transition, in [93]. The system's evolution is driven by a metropolis-like algorithm, apparently producing a discontinuous jump on the giant component's size at the percolation threshold. This finding was subsequently supported by number of other experimental studies [96, 97, 98, 99, 100, 101]. However, in [1] we have proved that the explosive percolation transition is actually continuous. The discontinuity which was observed in the evolution of the giant component's relative size is explained by the unusual smallness of the corresponding critical exponent, combined with the finiteness of the systems considered in experiments. Therefore, the size of the jump vanishes as the system's size goes to infinity. Additionally, we provide the complete theoretical description of the critical properties for a generalized version of the explosive percolation model [2], as well as a method [3] for a precise calculation of percolation's critical properties from numerical data (useful when exact results are not available). Secondly, we study a network flow optimization model, where the dynamics consists of consecutive mergings and splittings of currents flowing in the network. The current conservation constraint does not impose any particular criterion for the split of current among channels outgoing nodes, allowing us to introduce an asymmetrical rule, observed in several real systems. We solved analytically the dynamic equations describing this model in the high and low current regimes. The solutions found are compared with numerical results, for the two regimes, showing an excellent agreement. Surprisingly, in the low current regime, this model exhibits some features usually associated with continuous phase transitions.

Optimal alarms systems and its application to financial time series

This thesis focuses on the application of optimal alarm systems to non linear time series models. The most common classes of models in the analysis of real-valued and integer-valued time series are described. The construction of optimal alarm systems is covered and its applications explored. Considering models with conditional heteroscedasticity, particular attention is given to the Fractionally Integrated Asymmetric Power ARCH, FIAPARCH(p; d; q) model and an optimal alarm system is implemented, following both classical and Bayesian methodologies. Taking into consideration the particular characteristics of the APARCH(p; q) representation for financial time series, the introduction of a possible counterpart for modelling time series of counts is proposed: the INteger-valued Asymmetric Power ARCH, INAPARCH(p; q). The probabilistic properties of the INAPARCH(1; 1) model are comprehensively studied, the conditional maximum likelihood (ML) estimation method is applied and the asymptotic properties of the conditional ML estimator are obtained. The final part of the work consists on the implementation of an optimal alarm system to the INAPARCH(1; 1) model. An application is presented to real data series.