Singular Solutions of Protter’s Problem for a Class of 3-D Hyperbolic Equations

Недю Иванов Попиванов, Алексей Йорданов Николов - През 1952 г. М. Протър формулира нови гранични задачи за вълновото уравнение, които са тримерни аналози на задачите на Дарбу в равнината. Задачите са разгледани в тримерна област, ограничена от две характеристични конуса и равнина. Сега, след като са минали повече от 50 години, е добре известно, че за безброй гладки функции в дясната страна на уравнението тези задачи нямат класически решения, а обобщеното решение има силна степенна особеност във върха на характеристичния конус, която е изолирана и не се разпространява по конуса. Тук ние разглеждаме трета гранична задача за вълновото уравнение с младши членове и дясна страна във формата на тригонометричен полином. Дадена е по-нова от досега известната априорна оценка за максимално възможната особеност на решенията на тази задача. Оказва се, че при по-общото уравнение с младши членове възможната сингулярност е от същия ред като при чисто вълновото уравнение.

For 3-D wave equation M. Protter formulated (1952) some boundary value problems which are three-dimensional analogues of the Darboux problems on the plane. Protter studied these problems in a 3-D domain, bounded by two characteristic cones and by a plane region. Now, more than 50 years later, it is well known that, for an infinite number of smooth functions in the right-hand side, these problems do not have classical solutions and the generalized solution have a strong power type singularity at the vertex of the characteristic cone, which is isolated and does not propagate along the cone. In the present paper we consider the third boundary value problem for the wave equation involving lower order terms with a right-hand function of the form of trigonometric polynomial and give a new upper estimate of possible singularity of the solutions. It is interesting that the solutions of the considered problem have the same order of possible singularity as the solutions of the wave equation without lower order terms. *2000 Mathematics Subject Classification: 35L05, 35L20, 35D05, 35A20.

This research was partially supported by the Bulgarian NSF under Grant DO 02-75/2008 and Grant DO 02-115/2008.