Parâmetro de regularização em problemas inversos: estudo numérico com a transformada de Radon

In general, an inverse problem corresponds to find a value of an element x in a suitable vector space, given a vector y measuring it, in some sense. When we discretize the problem, it usually boils down to solve an equation system f(x) = y, where f : U Rm ! Rn represents the step function in any domain U of the appropriate Rm. As a general rule, we arrive to an ill-posed problem. The resolution of inverse problems has been widely researched along the last decades, because many problems in science and industry consist in determining unknowns that we try to know, by observing its effects under certain indirect measures. Our general subject of this dissertation is the choice of Tykhonov´s regulaziration parameter of a poorly conditioned linear problem, as we are going to discuss on chapter 1 of this dissertation, focusing on the three most popular methods in nowadays literature of the area. Our more specific focus in this dissertation consists in the simulations reported on chapter 2, aiming to compare the performance of the three methods in the recuperation of images measured with the Radon transform, perturbed by the addition of gaussian i.i.d. noise. We choosed a difference operator as regularizer of the problem. The contribution we try to make, in this dissertation, mainly consists on the discussion of numerical simulations we execute, as is exposed in Chapter 2. We understand that the meaning of this dissertation lays much more on the questions which it raises than on saying something definitive about the subject. Partly, for beeing based on numerical experiments with no new mathematical results associated to it, partly for being about numerical experiments made with a single operator. On the other hand, we got some observations which seemed to us interesting on the simulations performed, considered the literature of the area. In special, we highlight observations we resume, at the conclusion of this work, about the different vocations of methods like GCV and L-curve and, also, about the optimal parameters tendency observed in the L-curve method of grouping themselves in a small gap, strongly correlated with the behavior of the generalized singular value decomposition curve of the involved operators, under reasonably broad regularity conditions in the images to be recovered

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Problemas inversos, usualmente recaem em resolver alguma equação do tipo f(x) = b, onde cada equação fi(x) = bi pode ser pensada como uma medida de um dado x a ser recuperado. Usualmente são mal postos, no sentido de corresponderem a equações que podem não ter solução exata, podem ainda ter muitas soluções, ou ainda, o que é o mais comum, ter soluções muito instáveis a ruídos na obtenção de b. Há várias formas de regularizar a obtenção de soluções de tais problemas e a mais popular seria a de Tykhonov, que corresponde a: Minimizar ||f(x) b||2 + l ||L(x x0) ||2 (I) A regularização pretendida corresponde a se escolher o operador l, de tal forma que o problema I tenha soluções estáveis com perturbações em b e que aproximem soluções do problema de mínimos quadrados usual, no caso de se fazer l 0. O primeiro termo de (I) representa o ajuste aos dados e o segundo termo penaliza a solução de forma a regularizar o problema e produzir uma solução estável a ruídos. Se l = 0, isto significa que estamos procurando uma solução de quadrados mínimos para o problema, o que usualmente é insuficiente para problemas mal postos. O termo de regularização adicionado introduz um viés na solução ao penalizar o ajuste com um termo adicional. Se L for a identidade, por exemplo, isto significa que estamos apostando que a solução estaria relativamente próxima de x0. Se L for o operador gradiente, estamos apostando que a solução x é razoavelmente suave. Nas aplicações, L usualmente é escolhido como um operador adaptado ao problema estudado e de forma se valer de informações a priori disponíveis sobre as soluções procuradas. A escolha do parâmetro l > 0 é crucial neste métodos, pelo fato que se l é excessivo, isto tende a enfraquecer excessivamente o ajuste aos dados, induzindo um ajuste da solução à x0. Se l for pequeno demais a regularização pretendida acaba não acontecendo e a solução do problema (I) usualmente acaba ficando muito instável e contaminada por ruídos. Há várias técnicas disponíveis na literatura para tal escolha, sobretudo se f é uma função linear f(x) = Ax. O objetivo da dissertação é o de estudar algumas destas técnicas de ajuste do parâmetro l no caso de operadores discretizados, vale dizer, x no Rn. Em especial, destacamos os métodos de ajuste do parâmetro l reconhecidos na literatura como L-curve, GCV e método da discrepância, e objetiva-se comparar estes métodos em testes feitos com a transformada de Radon e tendo como regularizador um operador de derivada de primeira ordem. Os resultados dos testes realizados revelam pontos interessantes na relação entre os diferentes estimadores para o parãmetro de regularização e que sugerem um aprofundamento teórico além do escopo desta dissertação