Probabilidades imprecisas: intervalar, fuzzy e fuzzy intuicionista

The idea of considering imprecision in probabilities is old, beginning with the Booles George work, who in 1854 wanted to reconcile the classical logic, which allows the modeling of complete ignorance, with probabilities. In 1921, John Maynard Keynes in his book made explicit use of intervals to represent the imprecision in probabilities. But only from the work ofWalley in 1991 that were established principles that should be respected by a probability theory that deals with inaccuracies. With the emergence of the theory of fuzzy sets by Lotfi Zadeh in 1965, there is another way of dealing with uncertainty and imprecision of concepts. Quickly, they began to propose several ways to consider the ideas of Zadeh in probabilities, to deal with inaccuracies, either in the events associated with the probabilities or in the values of probabilities. In particular, James Buckley, from 2003 begins to develop a probability theory in which the fuzzy values of the probabilities are fuzzy numbers. This fuzzy probability, follows analogous principles to Walley imprecise probabilities. On the other hand, the uses of real numbers between 0 and 1 as truth degrees, as originally proposed by Zadeh, has the drawback to use very precise values for dealing with uncertainties (as one can distinguish a fairly element satisfies a property with a 0.423 level of something that meets with grade 0.424?). This motivated the development of several extensions of fuzzy set theory which includes some kind of inaccuracy. This work consider the Krassimir Atanassov extension proposed in 1983, which add an extra degree of uncertainty to model the moment of hesitation to assign the membership degree, and therefore a value indicate the degree to which the object belongs to the set while the other, the degree to which it not belongs to the set. In the Zadeh fuzzy set theory, this non membership degree is, by default, the complement of the membership degree. Thus, in this approach the non-membership degree is somehow independent of the membership degree, and this difference between the non-membership degree and the complement of the membership degree reveals the hesitation at the moment to assign a membership degree. This new extension today is called of Atanassov s intuitionistic fuzzy sets theory. It is worth noting that the term intuitionistic here has no relation to the term intuitionistic as known in the context of intuitionistic logic. In this work, will be developed two proposals for interval probability: the restricted interval probability and the unrestricted interval probability, are also introduced two notions of fuzzy probability: the constrained fuzzy probability and the unconstrained fuzzy probability and will eventually be introduced two notions of intuitionistic fuzzy probability: the restricted intuitionistic fuzzy probability and the unrestricted intuitionistic fuzzy probability

A idéia de considerar imprecisão em probabilidades é antiga, remontando aos trabalhos de George Booles, que em 1854 pretendia conciliar a lógica clássica, que permite modelar ignorância completa, com probabilidades. Em 1921, John Maynard Keynes em seu livro fez uso explícito de intervalos para representar a imprecisão nas probabilidades. Porém, apenas a partir dos trabalhos de Walley em 1991 que foram estabelecidos princípios que deveriam ser respeitados por uma teoria de probabilidades que lide com imprecisões. Com o surgimento da teoria dos conjuntos fuzzy em 1965 por Lotfi Zadeh, surge uma outra forma de lidar com incertezas e imprecisões de conceitos. Rapidamente, começaram a se propor diversas formas de considerar as idéias de Zadeh em probabilidades, para lidar com imprecisões, seja nos eventos associados às probabilidades como aos valores das probabilidades. Em particular, James Buckley, a partir de 2003 começa a desenvolver uma teoria de probabilidade fuzzy em que os valores das probabilidades sejam números fuzzy. Esta probabilidade fuzzy segue princípios análogos ao das probabilidades imprecisas de Walley. Por outro lado, usar como graus de verdade números reais entre 0 e 1, como proposto originalmente por Zadeh, tem o inconveniente de usar valores muito precisos para lidar com incertezas (como alguém pode diferenciar de forma justa que um elemento satisfaz uma propriedade com um grau 0.423 de algo que satisfaz com grau 0.424?). Isto motivou o surgimento de diversas extensões da teoria dos conjuntos fuzzy pelo fato de incorporar algum tipo de imprecisão. Neste trabalho é considerada a extensão proposta por Krassimir Atanassov em 1983, que adicionou um grau extra de incerteza para modelar a hesitação ao momento de se atribuir o grau de pertinência, e portanto, um valor indicaria o grau com o qual o objeto pertence ao conjunto, enquanto o outro, o grau com o qual não pertence. Na teoria dos conjuntos fuzzy de Zadeh, esse grau de não-pertinência por defeito é o complemento do grau de pertinência. Assim, nessa abordagem o grau de não-pertinência é de alguma forma independente do grau de pertinência, e nessa diferencia entre essa não-pertinência e o complemento do grau de pertinência revela a hesitação presente ao momento de se atribuir o grau de pertinência. Esta nova extensão hoje em dia é chamada de teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov. Vale salientar, que o termo intuicionista aqui não tem relação com o termo intuicionista como conhecido no contexto de lógica intuicionista. Neste trabalho será desenvolvida duas propostas de probabilidade intervalar: a probabilidade intervalar restrita e a probabilidade intervalar irrestrita; também serão introduzidas duas noções de probabilidade fuzzy: a probabilidade fuzzy restrita e a probabilidade fuzzy irrestrita e por fim serão introduzidas duas noções de probabilidade fuzzy intuicionista: a probabilidade fuzzy intuicionista restrita e a probabilidade fuzzy intuicionista irrestrita