Metodologia bayesiana e adequação de modelos

Tese de doutoramento, Estatística e Investigação Operacional (Probabilidades e Estatística), Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2014

A base de muitas metodologias estatísticas pressupõe que um determinado modelo probabil ístico paramétrico se ajusta a um conjunto de dados observados. Se esta suposição falha, a qualidade das inferências realizadas é posta em causa. O estudo da adequabilidade do modelo probabilístico proposto constitui um passo fulcral para o sucesso da modelação estatística. A literatura estatística clássica que aborda este problema é muito extensa, o mesmo não acontecendo com a literatura bayesiana. Tradicionalmente, a abordagem bayesiana para o estudo da avaliação da adequação de um modelo, compara, através do cálculo de um valor-p preditivo, a amostra observada com amostras simuladas da distribuição preditiva a posteriori. No entanto, este método tem sido alvo de muitas críticas. Outros métodos têm sido propostos, em particular testes de ajustamento bayesianos, que requerem a de nição de um modelo alternativo ao proposto. A forma de de nir o modelo alternativo consiste em incorporar o modelo paramétrico em estudo na família de modelos bayesianos não paramétricos e utilizar, seguidamente, medidas de comparação entre os dois modelos. Destaca-se o factor de Bayes como medida de comparação. O estudo da adequabilidade de um modelo, seguindo uma abordagem bayesiana não paramétrica, é o tema principal tratado neste trabalho. Efectua-se uma revisão de alguns métodos de estudo da adequação de modelos e propõe-se dois testes bayesianos para o estudo da adequabilidade da distribuição exponencial. São apresentados alguns exemplos práticos para ilustrar alguns dos métodos e é comparado, através de um estudo de simulação, o desempenho dos dois testes com alguns testes de ajustamento clássicos.

The basis for several statistical methodologies assumes that a speci ed parametric probabilistic model ts a observed data set. If this assumption does not hold, the quality of the inferences is doubtful. Thus, the study of the adequacy of the proposed probabilistic model is a central issue for the success of statistical modelling. The classical statistical literature which addresses to this problem is quite wide, in opposition to what happens with Bayesian literature. Traditionally, the Bayesian approach to study and evaluate the adequacy of a model compares the observed sample with simulated samples from the posterior predictive distribution, through the evaluation of a predictive p-value. However, this method has been the subject of much criticism. Other methods have been proposed, particularly Bayesian tests of t, which require the de nition of an alternative model to the proposed one. The way to de ne the alternative model consists in embedding the parametric model under study in a family of nonparametric Bayesian models and, then, use measures of comparison between the two models. The Bayes factor is one of the most relevant of such measures. The study of the adequacy of a model, following a nonparametric Bayesian approach, is the main focus of this work. Some methods to study the adequacy of models are presented and two Bayesian tests are proposed aiming to evaluate the adequacy of the exponential model. Some practical examples are presented in order to illustrate the methods and a simulation study is carried out in order to compare the performance of the two methods here proposed with the performance of some classical tests of fit.

Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT, SFRH/BD/36869/2007 e projeto PEest- OE/MAT/UI00006/2011)