Direct and Inverse Scattering for Beltrami Fields

We consider an obstacle scattering problem for linear Beltrami fields. A vector field is a linear Beltrami field if the curl of the field is a constant times itself. We study the obstacles that are of Neumann type, that is, the normal component of the total field vanishes on the boundary of the obstacle. We prove the unique solvability for the corresponding exterior boundary value problem, in other words, the direct obstacle scattering model. For the inverse obstacle scattering problem, we deduce the formulas that are needed to apply the singular sources method. The numerical examples are computed for the direct scattering problem and for the inverse scattering problem.

Sirontateoriassa tutkitaan aallon siroamista. Kun homogeenisessa aineessa, tai tyhjiössä, etenevä aalto osuu epähomogeenisuuteen, tämä aiheuttaa aaltoon häiriötä, jota sanotaan sironneeksi aalloksi. Epähomogeenisuutta kutsutaan sirottajaksi. Se voi olla esimerkiksi kala vedessä, lentokone ilmassa, kasvain kudoksessa tai halkeama kattopalkissa. Aallot voivat olla esimerkiksi ääniaaltoja tai sähkömagneettisia aaltoja. Suorassa sirontaongelmassa tehtävänä on ratkaista sironnut aalto, kun alkuperäinen aalto ja sirottaja tunnetaan. Käytännössä tämä tarkoittaa tilannetta mallittavan osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemin ratkaisemista - teoreettisesti ja numeerisesti. Koska luonnossa aalto aina siroaa jotenkin, niin yleensä suora ongelma on matemaattisestikin ratkeava, kunhan malli vain kuvaa luontoa riittävän hyvin. Sironnan inversio-ongelmassa, eli käänteisessä sirontaongelmassa, tehtävänä on määrittää sirottaja, kun tunnetaan kutakin alkuperäistä aaltoa vastaava sironnut aalto. Tämänkaltainen tilanne tulee tyypillisesti vastaan mittauksissa: lähetetään aaltoja kiinnostavalle alueelle, mitataan sirontaa, ja halutaan päätellä, mitä kiinnostavalla alueella on. Sironnan inversio-ongelmia on itseasiassa hyvin monenlaisia riippuen siitä, miten sirontaa mitataan ja mitä sirottajasta halutaan selvittää. Yleensä inversio-ongelmien minkäänlainen ratkeavuus ei ole lainkaan itsestäänselvää. Singulaaristen lähteiden menetelmällä on mahdollista ratkaista sirottajan muoto tietynlaisen mittausdatan avulla. Menetelmän idea on konkreettinen: Kuljet huudellen ympäriinsä ja kuuntelet omaa ääntäsi. Kun tulet lähelle seinää, äänesi heijastus seinästä kasvaa. Näin saat seinän paikan selville. Singulaaristen lähteiden menetelmässä tällainen "liikuteltava lähde" muodostetaan laskennallisesti mittausdatan avulla. Myös "heijastuksen kuunteleminen" suoritetaan laskennallisesti mittausdatan avulla. Sirottajan lähellä heijastus kasvaa suureksi ja näin saadaan sirottajan reuna selville. Väitöstyössä tarkastellaan lineaaristen Beltrami-kenttien suoraa ja käänteistä sirontaongelmaa. Vektorikenttä on lineaarinen Beltarmi-kenttä, jos sen pyörteisyys on verrannollinen kenttään itseensä paikasta riippumattomalla vakiolla. Tutkittavassa inversio-ongelmassa oletetaan sironnut kenttä tunnetuksi kaukana sirottajasta ja tehtävänä on määrittää sirottajan muoto. Työssä todistetaan sekä suoran että kyseisen käänteisen sirontaongelman ratkeavuus Beltrami-kentille. Lisäksi johdetaan kaavat, joilla singulaaristen lähteiden menetelmää voidaan soveltaa tarkasteltavassa tilanteessa ja lasketaan numeerisia esimerkkejä.