Diagnostic Tests Based on Quantile Residuals for Nonlinear Time Series Models

This thesis studies quantile residuals and uses different methodologies to develop test statistics that are applicable in evaluating linear and nonlinear time series models based on continuous distributions. Models based on mixtures of distributions are of special interest because it turns out that for those models traditional residuals, often referred to as Pearson's residuals, are not appropriate. As such models have become more and more popular in practice, especially with financial time series data there is a need for reliable diagnostic tools that can be used to evaluate them. The aim of the thesis is to show how such diagnostic tools can be obtained and used in model evaluation. The quantile residuals considered here are defined in such a way that, when the model is correctly specified and its parameters are consistently estimated, they are approximately independent with standard normal distribution. All the tests derived in the thesis are pure significance type tests and are theoretically sound in that they properly take the uncertainty caused by parameter estimation into account. -- In Chapter 2 a general framework based on the likelihood function and smooth functions of univariate quantile residuals is derived that can be used to obtain misspecification tests for various purposes. Three easy-to-use tests aimed at detecting non-normality, autocorrelation, and conditional heteroscedasticity in quantile residuals are formulated. It also turns out that these tests can be interpreted as Lagrange Multiplier or score tests so that they are asymptotically optimal against local alternatives. Chapter 3 extends the concept of quantile residuals to multivariate models. The framework of Chapter 2 is generalized and tests aimed at detecting non-normality, serial correlation, and conditional heteroscedasticity in multivariate quantile residuals are derived based on it. Score test interpretations are obtained for the serial correlation and conditional heteroscedasticity tests and in a rather restricted special case for the normality test. In Chapter 4 the tests are constructed using the empirical distribution function of quantile residuals. So-called Khmaladze s martingale transformation is applied in order to eliminate the uncertainty caused by parameter estimation. Various test statistics are considered so that critical bounds for histogram type plots as well as Quantile-Quantile and Probability-Probability type plots of quantile residuals are obtained. Chapters 2, 3, and 4 contain simulations and empirical examples which illustrate the finite sample size and power properties of the derived tests and also how the tests and related graphical tools based on residuals are applied in practice.

Väitöskirjassa tarkastellaan kvantiiliresiduaaleja ja hyödynnetään erilaisia lähestymistapoja rakennettaessa testisuureita, jotka soveltuvat jatkuviin jakaumiin perustuvien lineaaristen ja epälineaaristen aikasarjamallien diagnostiseen tarkasteluun. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti sekoitusjakaumiin perustuvat mallit, sillä osoittautuu, että tavanomaiset residuaalit, joita usein kutsutaan Pearsonin residuaaleiksi, eivät sovellu tällaisten mallien tarkasteluun. Sekoitusjakaumiin perustuvia malleja käytetään erityisesti rahoituksen aikasarjojen yhteydessä. Täten tarvitaan myös niille soveltuvia luotettavia diagnostisia menetelmiä. Tässä työssä johdetaan tähän tarkoitukseen sopiva diagnostinen välineistö ja käytetään sitä näiden mallien sopivuuden arvioinnissa. Kvantiiliresiduaalit määritellään siten, että ne ovat approksimatiivisesti riippumattomia ja noudattavat standardia normaalijakaumaa. Tällöin on oletettava, että malli on spesifioitu oikein ja sen parametrit on estimoitu tarkentuvasti. Kaikki johdetut testit ovat ns. puhtaita merkitsevyystestejä. Lisäksi testeissä huomioidaan parametrien estimoinnista aiheutuva epävarmuus. Luvussa 2 johdetaan uskottavuusfunktioon ja yksiulotteisten kvantiiliresiduaalien riittävän säännöllisiin funktioihin perustuva yleinen kehikko, jota voidaan käyttää erilaisten spesifikaatiotestien muodostamiseen. Kehikkoa käyttäen johdetaan kolme helppokäyttöistä testiä, joiden on määrä havaita kvantiiliresiduaalien mahdolliset poikkeamat normaalisuudesta, sekä niiden mahdollinen autokorreloituneisuus ja ehdollinen heteroskedastisuus. Esitetyt testit voidaan tulkita myös LM testeinä, joten ne ovat asymptoottisesti optimaalisia lokaaleja vaihtoehtoja vastaan. Luvussa 3 määritellään moniulotteiset kvantiiliresiduaalit. Luvun 2 kehikko laajennetaan ja sen avulla yleistetään luvun 2 testit moniulotteisiin malleihin sopiviksi. Myös tässä tapauksessa autokorrelaatio- ja heteroskedastisuustestit voidaan tulkita LM testeiksi. Normaalisuustestin osalta LM tulkinta on olemassa vain tietyssä erikoistapauksessa. Luvun 4 testit perustuvat kvantiiliresiduaalien empiiriseen kertymäfunktioon ja parametrien estimoinnista johtuvan epävarmuuden eliminointiin käytetään Khmaladzen martingaalimuunnosta. Histogrammien ja muiden vastaavien graafien kriittisten rajojen johtamiseksi tarkastellaan useita erilaisia testisuureita. Esitettyjen testien koko- ja voimaominaisuuksia tutkitaan simuloinnein. Empiiristen esimerkkien avulla osoitetaan kuinka johdettuja testejä ja niihin liittyviä graafeja käytetään.