Homogeneous model theory of metric structures

This thesis studies homogeneous classes of complete metric spaces. Over the past few decades model theory has been extended to cover a variety of nonelementary frameworks. Shelah introduced the abstact elementary classes (AEC) in the 1980s as a common framework for the study of nonelementary classes. Another direction of extension has been the development of model theory for metric structures. This thesis takes a step in the direction of combining these two by introducing an AEC-like setting for studying metric structures. To find balance between generality and the possibility to develop stability theoretic tools, we work in a homogeneous context, thus extending the usual compact approach. The homogeneous context enables the application of stability theoretic tools developed in discrete homogeneous model theory. Using these we prove categoricity transfer theorems for homogeneous metric structures with respect to isometric isomorphisms. We also show how generalized isomorphisms can be added to the class, giving a model theoretic approach to, e.g., Banach space isomorphisms or operator approximations. The novelty is the built-in treatment of these generalized isomorphisms making, e.g., stability up to perturbation the natural stability notion. With respect to these generalized isomorphisms we develop a notion of independence. It behaves well already for structures which are omega-stable up to perturbation and coincides with the one from classical homogeneous model theory over saturated enough models. We also introduce a notion of isolation and prove dominance for it.

Malliteoria tutkii matemaattisia struktuureita ja niiden kokoelmia. Malli eli struktuuri koostuu perusjoukosta ja tämän alkioiden välisiä suhteita kuvaavista funktioista ja relaatioista. Esimerkiksi kokonaisluvut yhteen- ja kertolaskufunktioineen muodostavat mallin. Klassinen malliteoria tutkii elementaariluokkia, eli malliluokkia, jotka voidaan kuvata ensimmäisen kertaluvun teorialla. Esimerkkejä tällaisista on runsaasti geometriassa ja algebrassa. Monet mielenkiintoiset malliluokat ovat kuitenkin epäelementaarisia, minkä takia malliteorian tutkimuskenttää on laajennettu. 1980-luvulla Shelah kehitti abstraktit elementaariluokat yleiseksi pohjaksi epäelementaaristen luokkien tutkimiselle. Niissä malleja ei tutkita formaalilla kielellä, vaan mallien välisille suhteille annetaan joukko ehtoja. Toinen malliteorian yleistämisen suunta on metristen struktuurien tutkiminen. Näiden tarkasteluun elementaarilogiikka ei sovellu, mutta niiden tutkimiseen on kehitetty muita lähestymistapoja. Viime aikoina on laajimmim käytetty ns. jatkuvaa logiikkaa, jossa kaksiarvologiikan asemesta totuusarvot sijoittuvat reaalilukuvälille [0,1]. Väitöskirjassa kehitetään uusi, Shelah'n abstrakteihin elementaariluokkiin pohjautuva lähestymistapa metriseen malliteoriaan. Abstraktin lähestymistavan suurin etu on mahdollisuus lisätä tutkittavaan struktuuriluokkaan kokoelma yleistettyjä isomorfismeja. Malliteoriassa isomorfismi on kuvaus, joka säilyttää mallin rakenteen tarkasti. Funktionaalianalyysissa isomorfismien sallitaan kuitenkin venyttää vektoreiden pituuksia hieman. Myös operaattoreiden approksimointia tarkasteltaessa nousee tarve yleisemmälle isomorfismin käsitteelle. Aiemmissa lähestymistavoissa yleistettyjä isomorfismeja on jouduttu tarkastelemaan malleihin jälkikäteen tehtävinä muutoksina. Uusi, sisäänrakennettu lähestymistapa mahdollistaa malliteoriassa tärkeiden työkalujen kehittämisen yleistettyjen isomorfismien suhteen. Väitöskirja keskittyy näistä riippumattomuuskäsitteen ja isolaation kehittämiseen. Yksi väitöskirjan päätuloksista osoittaa, että esitetty määritelmä antaa hyvinkäyttäytyvän riippumattomuuskäsitteen jo perturbaation suhteen omega-stabiileille malliluokille.